已知函数f（x）=cos2x+asinx

解题思路：（Ⅰ）将a=2代入函数解析式，利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次函数的性质求出函数f（x）的值域即可；
（Ⅱ）函数f（x）解析式配方后，利用二次函数的性质表示出最小值，根据最小值为-6，即可求出实数a的值；
（Ⅲ）将函数解析式配方后，分a＜-2；-2≤a≤2；以及a＞2三种情况，利用二次函数的性质求出最大值即可．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的值域为[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-[a/2]）²+
a2
4+1，
∴f（x）_min=

a(a≤0)
−a(a＞0)，
∵f（x）的最小值为-6，
则a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-[a/2]）²+
a2
4+1，
则f（x）_max=

−a(a＜−2)

a2
4+1(−2≤a≤2)
a(a＞2)．

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；二次函数在闭区间上的最值；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．