在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P（x，y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点

设曲线方程为y=f（x）
根据曲率公式有：p（x，y）的曲率为：
K=[y″
(1+y′2)
3/2]
因为曲线向上凹，因此：y″＞0
该点的法线方程为：
Y-y=-[1/y′]（X-x）
它与x轴的交点为：（x+yy'，0）
|PQ|=
(x+yy′−x)2+(0−y)2
=
(yy′)2+y2
因为曲线在上半平面，因此：y＞0
|PQ|=
(yy′)2+y2=y
1+y′2
根据题意有：
[y″
(1+y′2)
3/2]=
1
y
1+y′2
所以有：
yy″=1+y′²
令y'=p
于是有：
yp[dp/dy]=1+p²
即：
p
1+p

点评：
本题考点： 微分的几何意义．

考点点评： 本题主要考察微分的几何意义，同时综合了曲率，直线方程，微分方程等知识点，属于难题．