怎么证明秩为1的n阶方阵可以写成一个n维列向量乘以一个n维行向量

很简单,既然矩阵A的秩为1,它一定能通过初等变换变换成diag(1,0,0,.0)形式
设变换矩阵为P,Q,则
PAQ = diag(1,0,...,0)
A= P'diag(1,0,...,0)Q' (P',Q'表示P,Q的逆矩阵）
=P' diag(1,0,...,0) diag(1,0,0...,0) Q'
P' diag(1,0,...,0)等于一个除了第一列非0的其他都是0的矩阵
diag(1,0,...,0)Q'等于一个除了第一行非0的其他都是0的矩阵
这两个矩阵乘积就是等价于P'diag(1,0,...,0)的第一列乘以diag(1,0,...,0) Q'的第一行
得证