mx |
x2+n |
赛乌鸦 幼苗
共回答了28个问题采纳率:89.3% 举报
(1)∵函数f(x)=
mx
x2+n(m,n∈R)在x=1处取得极大值2.
∴
f(1)=2
f′(1)=0,
又由f′(x)=
m(x2+n)−mx•2x
(x2+n)2=
−m(x2−n)
(x2+n)2,
由题意得
f′(1)=
−m(1−n)
(1+n)2=0
f(1)=
m
1+n=2,解得
m=4
n=1,
经检验,当m=4,n=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值2
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
4x
x2+1;
(2)∵函数f(x)的定义域为R且由(1)有f′(x)=
−4(x−1)(x+1)
(x2+1)2
令f′(x)=0,解得:x=±1
∴当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 减 极小值-2 增 极大值2 减∴当x=-1时,函数f(x)有极小值-2;当x=1时,函数f(x)有极大值2;
(3)由(2)知函数f(x)的大致图象如图所示:
则f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-2,
在x=1处取得极大值f(1)=2
又∵x>0时,f(x)>0,
∴f(x)的最小值为-2,
∵对于任意的x1∈R,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1)
∴当x∈[-1,1]时,g(x)最小值不大于-2,
又g(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2
①当a≤-1时,g(x)的最小值为g(-1)=1+3a,
由1+3a≤-2,得a≤-1,
②当a≥1时,g(x)最小值为g(1)=1-a,由1-a≤-2,得a≥3
③当-1<a<1时,g(x)的最小值为g(a)=a-a2
由a-a2≤-2,得a≤-1或a≥2,又-1<a<1,
所以此时a不存在.
综上,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用.
1年前
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
你能帮帮他们吗