（2014•抚州模拟）已知函数f（x）=[mxx2+n（m，n∈R）在x=1处取到极值2

解题思路：（I）由已知中，函数f(x)＝

mx

x2+n

(m，n∈R)，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[[1/2]，2]上的值域，由对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，

1

e

]，使得g（x₂）=f（x₁），及函数g（x）=ax-lnx．我们分别对a值与e及e²的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．

（Ⅰ）f′（x）=
m(x2+n)−2mx2
(x2+n)2]=
m(n−x2)
(x2+n)2
f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即


mn−m
(1+n)2＝0

m
1+n＝2，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故f(x)＝
4x
x2+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)＝
4(1−x)(1+x)
(x2+1)2，故f（x）在(
1
2，1)上单调递增，在（1，2）上单调递减，由f(1)＝2，f(2)＝f(
1
2)＝
8
5，故f（x）的值域为[
8
5，2]
依题意g′(x)＝a−
1
x＝
a(x−
1
a)
x，记M＝[
1
e2，
1
e]，∵x∈M∴e≤
1
x≤e2
（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．