mx |
x2+1 |
痴人波波 花朵
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函数f(x)=
mx
x2+1+1(m≠0)的定义域为R,
f′(x)=
m(1−x2)
(x2+1)2=
m(1−x)(1+x)
(x2+1)2.
①当m>0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
所以,函数f(x)的单调增区间时(-1,1),单调递减区间是(-∞,-1),(1,+∞).
②当m<0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
所以,函数f(x)的单调减区间时(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1),(1,+∞).
(Ⅱ)依题意,对任意当m>0时,对于任意x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,等价于
当m>0时,对于任意x1,x2∈[0,2],f(x)min≥g(x)max成立.
当m>0时,由(Ⅰ)知,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
因为f(0)=1,f(2)=[2m/5+1>1,所以函数f(x)的最小值为f(0)=1.
所以应满足g(x)max≤1.
因为g(x)=x2eax,所以g′(x)=(ax2+2x)eax.
③当a=0时,函数g(x)=x2,任意x∈[0,2],g(x)max=g(2)=4,
显然不满足g(x)max≤1,故a=0不成立.
④当a≠0时,令g′(x)=(ax2+2x)eax=0得:x1=0,x2=−
2
a]
1°当−
2
a≥2,即-1≤a<0时,在[0,2]上g′(x)≥0,所以函数g(x)在[0,2]上单调递增,
所以g(x)max=g(2)=4e2a.
由4e2a≤1得,a≤-ln2,所以-1≤a≤-ln2.
2°当0<−
2
a<2,即a<-1时,在[0,−
2
a)上g′(x)≥0,在(−
2
a,2]上g′(x)<0,
所以函数g(x)在[0,−
2
a)上单调递增,在(−
2
a,2]上单调递减.
所以g(x)max=g(−
2
a)=
4
a2e2.
由[4
a2e2≤1得:a≤−
2/e],所以a<-1.
3°当−
2
a<0,即a>0时,显然在[0,2]上g′(x)≥0,
函数g(x)在[0,2]上单调递增,且
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了函数恒成立问题,解答过程体现了分类讨论得数学思想,正确对a进行分类是解答该题的关键,此题属有一定难度题目.
1年前
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