已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E．

（1）在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AC ² =AD ² +DC ² =a ² +1
∵∠AME=∠D=90°，∠EAM=∠CAD
∴△AME ∽ △ADC，
∴
AE
AC =
AM
AD ，
∴AE=
AM•AC
AD ，
∵AM=
1
3 AC，
∴AE=
a 2 +1
3a ；

（2）∵AE ∥ BC，
∴△AEM ∽ △CHM，
∴
AE
CH =
AM
MC ，
∵
AM
AC =
1
3 ，
∴
AE
CH =
1
2 ，即CH=2AE=
2 a 2 +2
3a ，
∴BH=a-CH=
a 2 -2
3a ，
∴
AE+BH
a-AE+a-BH =
2
5 ，
∴a ² =
7
2 ，即a=

14
2 ；

（3）设AE=x，
∵AE ∥ BC，
∴
AM
MC =
AE
BC ，
∵
AM
AC =
1
4 ，即
AM
MC =
1
3 ，
∴
AE
BC =
1
3 ，
设AE=x，则BC=3x，AC=
1+9 x 2 ，
∵△AME ∽ △ADC，
∴
AE
AC =
AM
AD ，
由于AM=
1
4 AC，AD=BC，
∴x•3x=
1
4 （1+9x ² ），
∴x=

3
3 ，
∴AD=BC=3x=
3 ；

（4）由题意可知： AC=
1+ x 2 ， AM=
1
4
1+ x 2 ，
∵△AEM ∽ △ACD
∴
AE
AC =
AM
AD ，∴AE=
x 2 +1
4x ，
同理可得出
AF
AD =
AE
DC ，
∴AF=
x 2 +1
4 ，
则S _△AEF =
1
2 AE•AF=
( x 2 +1) 2
32x （

3
3 ≤x≤
3 ）．