已知,如图△abc中,ab=ac,d是bc上任一点,de⊥ab,df⊥ca,cg⊥ab.求de+df=gc

我的空间有这个问题的详细解答,你的问题中CG是AB边上的高,作BH⊥AC
我的解答中是证明：DE＋DF＝BH
而等腰三角形两腰上的高相等,也就是有：DE＋DF＝GC
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
已知：等腰三角形ABC中,AB＝AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证：DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
供参考!JSWYC

作DM平行AB交CG于M则DEGM为长方形 (因为∠E,∠G,∠M都是直角)
那么DE=MG
△DMC与三角形CFD全等
因为（直角相等 有公共边CD 且由DM平行AB知∠CDM=∠B 由 ab=ac知∠DCF=∠B
所以∠CDM=∠DCF 角角边证出全等）
则DF=CM
即DE+DF=MG+CM=CG 得证