已知函数f（x）=x2+ax-（a+2）lnx-2

（1）证明：∵a=1，x≥1时，f′(x)＝
(2x+3)(x−1)
x≥0，
∴f（x）在[1，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）f′(x)＝
(2x+a+2)(x−1)
x(x＞0)
∴a∈（-4，-2）时，函数的单调增区间为(0，−
a+2
2)，(1，+∞)，单调减区间为(−
a+2
2，1)；
a=-4，函数的单调增区间为（0+∞）；
a＜-4时，函数的单调增区间为（0，1），(−
a+2
2，+∞)，单调减区间为(1，−
a+2
2)；
（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x²+x-2＜3lnx，
∴
(x−1)(x+2)
3＞lnx
∴[1/lnx＞
1
x−1−
1
x+2]
∴[1/ln2＞
1
2−1−
1
2+2]，[1/ln3＞
1
3−1−
1
3+2]，[1/ln4＞
1
4−1−
1
4+2]，…，[1/lnn＞
1
n−1−
1
n+2]
∴[1/ln2]+[1/ln3]+[1/ln4]+…+[1/lnn]＞（1+[1/2]+[1/3]）-（[1/n]+[1/n+1]+[1/n+2]）=（[11/6]-（[1/n]+[1/n+1]+[1/n+2]）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

1年前

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