已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．

解题思路：（I）由题意函数f(x)在区间(0，

1

2

)上是减函数，等价于函数在此区间上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可
（II）由函数求导函数为：f′(x)＝

−2x2+ax−1

x

，接着针对字母a的取值范围求该函数在定义域下的极值即可．

（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得f′(x)＝−2x+a−
1
x，
∵f（x）在区间(0，
1
2)上是减函数，∴当x∈(0，
1
2)时，f′(x)＝−2x+a−
1
x＜0恒成立，
即a＜2x+[1/x]恒成立，令g（x）=2x+[1/x]，则g^′（x）=2-[1
x2
∵x∈(0，
1/2)时，
1
x2]＞4，∴g^′（x）=2-[1
x2＜0
∴g（x）=2x+
1/x]在区间(0，
1
2)上是减函数，
∴g(x)＞g(
1
2)＝3，∴a≤3．

（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）=−2x+a−
1
x＝
−2x2+ax−1
x=0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①当-2
2＜a＜2
2时，△＝a2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
②当a=±2
2时，−2x2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 此题考查了求导函数，此题考查了恒成立问题，还考查了求函数的极值及解题时等价转化的思想．