在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．

解题思路：（I）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB₁D₁D，即可得到AC⊥D₁E；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面AD₁E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；
（Ⅲ）利用BP∥平面AD₁E，可得

BP

⊥

n

，利用向量的数量积公式，可得结论．

（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴D₁D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D₁D⊥AC…1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分
又BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面BB₁D₁D，…3分
而D₁E⊂平面BB₁D₁D，∴AC⊥D₁E…4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D₁（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴

AE＝(0，1，1)，

AD1＝(−1，0，2)，

DE＝(1，1，1)…5分
设平面AD₁E的法向量为

n＝(x，y，z)，则



n•

AD1＝0

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查线面垂直，考查线面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．