如图1,在△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm
如图1,在△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm
如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为50px/s,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时,PQ∥BC?
（2）是否存在时刻t,使?若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．
（3）如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′．那么是否存在时
刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．
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∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角． （1）BP=2t,则AP=10-2t． ∵PQ//BC,∴AP/AB=PD/AC,即(10-2t)/10=2t/8 解得：t=20/9 ∴当t=20/9 s时,PQ//BC
（2）如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC,∴AP/AB=PD/BC 即(10-2t)/10=PD/6 解得PD=6-6t/5 ∴S=1/2×AQ×PD=1/2 ×2t× (6-6t/5)=-6t²/5+6t=-6/5×(t-5/2)²+15/2 ∴当t=5/2 s时,S有最大值 ,为15/2 cm^2
（ 3）假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,则有S△AQP=S△ABC/2 ,∵S△ABC=1/2（AC×BC）=24 ∴S△AQP=12.∵S△AQP=-6t^2/5+6t ∴-6t^2/5+6t=12 t^2-5t+10=0 ∴△=(-5)²-4×1×10=-15＜0 ∴次方程无解 ∴不存在T ,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,∴AP/AB=PD/BC=AD/AC,即(10-2t)/10=PD/6=AD/8,解得：PD=6-6t/5,AD=8-8t/5 ∴QD=AD-AQ=8-8t/5-2t=8-18t/5 在Rt△PQD中,由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²,即(8-18t/5)²+(6-6t/5)²=(2t)² 得：13t^2-90t+125=0 解得：t1=5,t2=25/13 ∵t=5s时,AQ=10cm＞AC,不符合题意,舍去,所以t=25/13
（2）如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC,∴AP/AB=PD/BC 即(10-2t)/10=PD/6 解得PD=6-6t/5 ∴S=1/2×AQ×PD=1/2 ×2t× (6-6t/5)=-6t²/5+6t=-6/5×(t-5/2)²+15/2 ∴当t=5/2 s时,S有最大值 ,为15/2 cm^2
（ 3）假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,则有S△AQP=S△ABC/2 ,∵S△ABC=1/2（AC×BC）=24 ∴S△AQP=12.∵S△AQP=-6t^2/5+6t ∴-6t^2/5+6t=12 t^2-5t+10=0 ∴△=(-5)²-4×1×10=-15＜0 ∴次方程无解 ∴不存在T ,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,∴AP/AB=PD/BC=AD/AC,即(10-2t)/10=PD/6=AD/8,解得：PD=6-6t/5,AD=8-8t/5 ∴QD=AD-AQ=8-8t/5-2t=8-18t/5 在Rt△PQD中,由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²,即(8-18t/5)²+(6-6t/5)²=(2t)² 得：13t^2-90t+125=0 解得：t1=5,t2=25/13 ∵t=5s时,AQ=10cm＞AC,不符合题意,舍去,所以t=25/13
1年前
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