jp7600
幼苗
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解题思路:分等腰三角形△F
1F
2P以F
1F
2为底和以F
1F
2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e>
1
3
当e=[1/2]时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠[1/2]
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>
1
3且e≠[1/2]时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈([1/3],[1/2])∪([1/2],1)
点评:
本题考点: 椭圆的简单性质.
考点点评: 本题给出椭圆的焦点三角形中,共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
1年前
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