（2013•连云港一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆

（1）因为椭圆过点P（[4/3]，[b/3]），所以[16
9a2+
1/9]=1，解得a²=2，…（2分）
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂，所以AF₂⊥F₂P，即-[b/c]⋅

b
3

4
3−c=-1，所以b²=c（4-3c）．…（6分）
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0，解得c²=1，
故椭圆C的方程是
x2
2+y²=1．…（8分）
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．…（10分）
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则

|ks+p|

k2+1⋅
|kt+p|

k2+1=
|k2st+kp(s+t)+p2|
k2+1=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生的计算能力，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．