（2014•聊城一模）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“
（2014•聊城一模）给定椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴的一个端点到点F的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求
•
的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2+b2 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求
| AB |
| AD |
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．
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解题思路：（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；
（2）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出
•
，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围；
（3）通过分类讨论，假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可．
（2）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出
| AD |
| AB |
（3）通过分类讨论，假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可．
（1）由题意可得：a＝
3，c＝
2，b=1，∴r=
(
3)2+12=2．
∴椭圆C的方程为
x2
3+y2＝1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
AB•
AD=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=(x0−2)2−y02，
∵点B在椭圆
x2
3+y2＝1上，∴
x02
3+y02＝1，∴y
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．
考点点评： 熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义、向量的数量积、直线与椭圆相切问题时联立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系、两条直线垂直的条件是解题的关键．
1年前
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