已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．

解题思路：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

（1）f（x）=
1/x]的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
令[1/x+1=
1
x+1，整理得x²+x+1=0，△=-3＜0，
因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，
所以f（x）=
1
x∉M；（4分）
（2）f（x）=lg
a
x2+1]的定义域为R，f（1）=lg[a/2]，a＞0，
若f（x）=lg[a
x2+1∈M，则存在x∈R使得lg
a
(x+1)2+1=lg
a
x2+1+lg
a/2]，
整理得存在x∈R使得（a²-2a）x²+2a²x+（2a²-2a）=0．
①若a²-2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=-[1/2]，满足条件：
②若a²-2a≠0即a∈（-∞，2）∪（2，+∞）时，
令△≥0，解得a∈[3-
5，2）∪（2，3+
5]，
综上，a∈[3-
5，3+
5]；（8分）
（3）f（x）=2^x+x²的定义域为R，
令2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），整理得2^x+2x-2=0，
令g（x）=2^x+2x-2，所以g（0）•g（1）=-2＜0，
即存在x₀∈（0，1）使得g（x）=2^x+2x-2=0，
亦即存在x₀∈R使得2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），
故f（x）=2^x+x²∈M． （12分）

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．

令X=x0+1带入方程f（x）=2^X+x^2试试

取x0属于f（x）的定义域 则 令f（x0+1）=f(x0)+f(1)
而f(1)=3 得2^x0+2x0-2=0 设g（x）=2^x0+2x0-2 其为连续函数，且知道g（x）有零点 所以f（x）满足M的条件

123 有