已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线 y= m x 相交于点C

（1）∵D（1，6）在y=
m
x 上，
∴m=6，即双曲线解析式是 y=
6
x ，
当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
∴C（2，3）．
直线AB过点C（2，3），D（1，6），得

2k+b=3
k+b=6 ，
解得：

k=-3
b=9 ，
故直线AB的解析式为y=-3x+9．
∴B（0，9），A（3，0），
∴AB=3
10 ，
∵C（2，3），D（1，6），
∴CD=
10
∴
CD
AB =
1
3 ；

（2）①设C（a，b），则ab=6，
∵S _△EFC =
1
2 （-a）（-b）=
1
2 ab=3，而S _△EFD =
1
2 ×1×6=3，
∴S _△EFC =S _△EFD ；
②∵S _△EFC =S _△EFD ，且两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF ∥ CD，
∵DF ∥ AE，BF ∥ CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
∵

∠DFB=∠AEC
CE=BF
∠FDB=∠EAC ，
∴△DFB≌△AEC，
∴AC=BD，
∵
CD
AB =2，设CD=2k，AB=k，DB=
k
2 ，
∴
DB
AB =
1
2 ，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO，
∴△DFB ∽ △AOB，
∴
DF
AO =
DB
AB =
BF
BO =
1
2 ，
∵DF=1，
∴OA=2，
∵OF=6，
∴OB=4，
∴tan∠OAB=
BO
AO =2．
∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得

y=2x+4
y=
6
x ，
解得：

x=-3
y=-2 ，

x=1
y=6 ，
∴C（-3，-2）．


（3）如图2，直线与双曲线过D点（1，6），带入双曲线方程6=
m
1 ，
解得：m=6，
带入直线方程，6=k+b，b=6-k，
所以直线方程变为y=kx+6-k，
∵tan∠OAB=
1
7 ，
∴直线方程的斜率为
1
7 ，即k=
1
7 ，
∴b=
41
7 ，
∴直线方程为y=
1
7 x+
41
7 ，
∴A的坐标为（-41，0），B（0，
41
7 ），
再将直线方程带入双曲线方程有
6
x =
1
7 x+
41
7 ，解得x=1或-42，
当x=-42，y=-
1
7 ，
过C做平行于x轴的直线，过D做平行于y的直线，两直线相交与M，
∴△AOB ∽ △CMD，
∴
CD
AB =
CM
AO ，
CM=1-（-42）=43，AO=41，所以
CD
AB =
43
41 ．
如图1：∵tan∠OAB=
1
7 ，
∴直线方程的斜率为
1
7 ，即k=-
1
7 ，
∴b=
43
7 ，
∴直线方程为y=-
1
7 x+
43
7 ，
∴A的坐标为（43，0），B（0，
43
7 ），
再将直线方程带入双曲线方程有
6
x =-
1
7 x+
43
7 ，解得x=1或42，
当x=42，y=
1
7 ，
∵△AOB ∽ △CPD，
∴
CD
AB =
CP
AO ，
CP=42-1=41，AO=43，
∴
CD
AB =
41
43 ．
综上所述：
CD
AB 的值为
43
41 或
41
43 ．

1年前