已知f在[a,b]连续且单调递增,证明:∫(a->b)xfdx≥(a+b)/2∫(a->b)fdx

令 F(t) = ∫(a->t)xf(x)dx - (a+t)/2∫(a->t)f(x)dx
则F(a) = 0,只需证明F'(t)在t>a上大于等于0即可.
F'(t) = (t-a)/2*f(t) - 1/2∫(a->t)f(x)dx
则F'(a) = 0,欲证F'(t) >=0 在 t>a上成立,只需证 F''(t) >=0在t>a上成立.
F''(t) = (t-a)/2*f '(t)
在t>a上 t-a>0,因为f单调递增,则f '(t)>=0,所以F''(t) >=0在t>a上成立.
证毕.