pxzwh88
幼苗
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要证明F(x)在(a,b]上也单调递增,只需证明F(x)的导数F'(x)>0即可,证明如下：
(注：过程中如果有积分的话上限都是x,下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知,存在a0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增.
证毕.
1年前
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pxzwh88
这是由于题目给出了f(x)是递增的，而我们根据积分中值定理也可以知道ξ是介于a和x之间的，也就是说ξ是小于x的，既然f(x)递增，且ξf(ξ)并不复杂，也就是f(x)-f(ξ)>0.
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木子王里
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积分中值定理： 若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b) 不是a≤ ξ≤ b吗？
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pxzwh88
啊，楼主，你说的是对的，我刚刚查了下，是闭区间，但是我认为这个证明过程还是没有问题的，这是因为只有当x=ξ时，f(x)才等于f(ξ)，而当x≠ξ，都有f(x)>f(ξ).也就是说，F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a) ，除了x=ξ这个点，F'(x)都是大于0的，此时F(x)都是递增的，当然x=ξ时这儿是个驻点，也就是导数为0可能会存在极值，但是，一个点并不会影响到这个函数整体的单调性，就好像这个函数y=x³这个函数，它在x=0处的导数也为0，但是这个函数的递增区间是整个实数集，所以说，一个点的导数为0并不会影响到整体的单调性，这是我的看法，楼主你认为呢?
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木子王里
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不我不是这个意思，既然由中值定理推出的是a≤ ξ≤ b，那怎么确定X大于ξ？X也是属于[a,b]的
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pxzwh88
不是的楼主，中值定理在推导的时候是因为上限是b，下限是a，所以才推出了a≤ ξ≤ b，而这道题的上限是x，下限是a，所以应用中值定理以后固然就会得到a≤ ξ≤ x了，所以就可以确定了x大于ξ了。。
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