设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,长轴两端点为A1A2
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,长轴两端点为A1A2
设椭圆 x2a2+
y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A1、A2．
（1）P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q,使∠F1QF2=90°,求椭圆离心率e的取值范围．
设椭圆 x2a2+
y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A1、A2．
（1）P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q,使∠F1QF2=90°,求椭圆离心率e的取值范围．
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解 由余弦定理 PF1^2 +PF2^2 -2PF1*PF2*cos60 = F1F2^2
→ PF1*PF2 = PF1^2+PF2^2-F1F2^2 = (PF1+PF2)^2 - F1F2^2-2PF1PF2
→ PF1PF= (4a^2-4c^2)/3
→ △F1PF2的面积 = PF1PFsin60/2 = √3 * (a^2-c^2)
QF1^2 +QF2^2 = F1F2^2
→ (QF1+QF2)^2 - 2QF1QF2 = F1F2^2
→ 4(a^2-c^2) = 2QF1QF2 ≤ (QF1+QF2)^2/2=2a^2
→ 2a^2 ≤ 4c^2
→ e^2 ≥ 1/2 → e∈[√2/2,1)
→ PF1*PF2 = PF1^2+PF2^2-F1F2^2 = (PF1+PF2)^2 - F1F2^2-2PF1PF2
→ PF1PF= (4a^2-4c^2)/3
→ △F1PF2的面积 = PF1PFsin60/2 = √3 * (a^2-c^2)
QF1^2 +QF2^2 = F1F2^2
→ (QF1+QF2)^2 - 2QF1QF2 = F1F2^2
→ 4(a^2-c^2) = 2QF1QF2 ≤ (QF1+QF2)^2/2=2a^2
→ 2a^2 ≤ 4c^2
→ e^2 ≥ 1/2 → e∈[√2/2,1)
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