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caiv 花朵
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(1)α=
π
3时,f(x)=
1
2ax2−
3
2x.
①当a=0时,f(x)=−
3
2x,不合题意;[1,2]⊆[
3
2a,+∞)
②当a<0时,f(x)=
1
2ax2−
3
2x在(−∞,
3
2a]上递增,在[
3
2a,+∞)上递减,而,故不合题意;
③当a>0时,f(x)=
1
2ax2−
3
2x在(−∞,
3
2a]上递减,在[
3
2a,+∞)上递增,
f(x)在[1,2]上的最大值是max{f(1),f(2)}=f(2),所以f(1)≤f(2),即[1/2a−
3
2≤2a−3,所以a≥1.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
(2)a=1时,F(x)=
1
2x2−2xsin2α+lnx定义域为(0,+∞),F/(x)=x+
1
x−2sin2α≥2−2sin2α=2cos2α≥0.
①当cosα≠0时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增,从而F(x)在其定义域内没有极值;
②当cosα=0时,F/(x)=x+
1
x−2=
(x−1)2
x],令F′(x)=0有x=1,但是x∈(0,1)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)也单调递增,所以F(x)在其定义域内也没有极值.
综上,F(x)在其定义域内没有极值.
(3)据题意可知,令F/(x)=ax+
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x−2sin2α=0,即方程ax2-2xsin2α+1=0在(0,+∞)上恒有两个不相等的实数根.即
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,解题的关键是利用导数研究出函数的单调性,判断出函数的最值,本题第三小题是一个恒成立的问题,要转化为导数方程有两个不同根来求解,本题运算量过大,解题时要认真严谨,避免变形运算失误,导致解题失败.
1年前
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(2012•泸州一模)已知函数f(x)=lnx−12ax2.
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(2015•重庆一模)已知函数f(x)=12ax2+2x−lnx
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