已知函数f(x)=ln(12+ax2)+x2−ax(a为常数,a>0)

已知函数f(x)=ln(
1
2
+
ax
2
)+x2−ax
(a为常数,a>0)
(1)若x=
1
2
是函数f(x)
的一个极值点,求a的值;
(2)若f(x)在[
1
2
,+∞)
上是增函数,求a的取值范围.
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[
1
2
,1],使不等式f(x0)
>m(1-a2)成立,求实数m的取值范围.
唔家娜娜 1年前 已收到1个回答 举报

汪济元 幼苗

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解题思路:(1)由已知,得f′([1/2])=0且
a2−2
2a
≠0,解出即可;
(2)利用导数大于0,再求最值,即可求得0<a≤2;
(3)问题等价于:对任意a∈(1,2),不等式ln([1/2]+[1/2]a)+1-a+m(a2-1)>0恒成立,令g(a)=ln([1/2]+[1/2]a)+1-a+m(a2-1),(1<a<2),求导数,分类讨论,从而g(a)在(1,2)单调递增,解不等式组求出m的值即可.

f′(x)=2ax(x−a2−22a)1+ax,(1)由已知,得f′(12)=0且a2−22a≠0,∴a2-a-2=0,∴a=2;(2)f(x)在[12,+∞)是增函数,即f,(x)=2ax(x−a2−22a)1+ax≥0在[12,+∞)恒成立,a>0,x∈[12,+∞)∴2ax1+ax>0,...

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.

考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,导数的应用,求参数的范围,是一道综合题.

1年前

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