已知函数f(x)＝ax3−3x2+1−3a．

解题思路：（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负来求函数的单调区间，进而讨论出函数f（x）的单调性；
（2）先求出曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，把线段AB与x轴有公共点转化为f（0）f（[2/a]）≤0，再解不等式即可求出实数a的取值范围．（注意前提限制）．

解（1）由题设知a≠0，f'（x）=3ax²-6x=3ax（x-[2/a]）
令f'（x）=0⇒x=0，x=[2/a]
当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，故在（-∞，0）上递增；
若x∈（0，[2/a]），则f'（x）＜0，故在（0，[2/a]）上递减；
当x∈（[2/a]，+∞）时，则f'（x）＞0，在（[2/a]，+∞）上递增．
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，
且函数y=f（x）在x=0，x=[2/a]处分别取得极值f（0）=1-[3/a]，f（[2/a]）=[4
a2-
3/a]+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以f（0）f（[2/a]）≤0，
即（[4
a2-
3/a]+1）（1-[3/a]）≤0⇒
(a+1)(a−1)(a−4)
a3≤0．⇒a（a+1）（a-1）（a-4）≤0且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
所以实数a的取值范围[-1，0）∪[3，4]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．

函数f(x)=ax^3-3x^2+1-3/a(a>0)
对f(x)求导数，