已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=a2c（a为长半轴，c为半焦距）上．

解题思路：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x-4y-5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出FN，OM，MN及ON，由FN⊥OM，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又MN⊥ON，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．

（1）又由点M在准线上，得
a2
c＝2
故
1+c2
c＝2，∴c=1，从而a＝
2
所以椭圆方程为
x2
2+y2＝1；
（2）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即(x−1)2+(y−
t
2)2＝
t2
4+1
其圆心为(1，
t
2)，半径r＝

t2
4+1
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d＝
r2−1=[t/2]
所以
|3−2t−5|
5＝
t
2，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5
（3）设N（x₀，y₀），则



FN＝(x0−1，y0)，

OM＝(2，t)，




MN＝(x0−2，y0−t)，

ON＝(x0，y0)，
∵

FN⊥

OM，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN⊥

ON，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON|＝
x02+y02＝
2为定值．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．