已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝ (a为长半轴，c为半焦距)上．
| 已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝  (a为长半轴，c为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程； (2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程； (3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值． |
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（1）
＋y 2 ＝1（2）(x－1) 2 ＋(y－2) 2 ＝5（3）
(1)由点M在准线上，得
＝2，故
＝2，∴c＝1，从而a＝ ，所以椭圆方程为 ＋y 2 ＝1.
(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1) 2 ＋
＝
＋1，其圆心为
，半径r＝
，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝
＝
，所以
＝ ，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1) 2 ＋(y－2) 2 ＝5.
(3)证明：设N(x 0 ，y 0 )，则
＝(x 0 －1，y 0 )，
＝(2，t)，
＝(x 0 －2，y 0 －t)，
＝(x 0 ，y 0 )．∵ ⊥ ，∴2(x 0 －1)＋ty 0 ＝0，∴2x 0 ＋ty 0 ＝2.
∵ ⊥ ，∴x 0 (x 0 －2)＋y 0 (y 0 －t)＝0，∴
＋
＝2x 0 ＋ty 0 ＝2，∴| |＝
＝ 为定值．
＋y 2 ＝1（2）(x－1) 2 ＋(y－2) 2 ＝5（3）
(1)由点M在准线上，得
＝2，故
＝2，∴c＝1，从而a＝ ，所以椭圆方程为 ＋y 2 ＝1.(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1) 2 ＋
＝
＋1，其圆心为
，半径r＝
，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝
＝
，所以
＝ ，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1) 2 ＋(y－2) 2 ＝5.(3)证明：设N(x 0 ，y 0 )，则
＝(x 0 －1，y 0 )，
＝(2，t)，
＝(x 0 －2，y 0 －t)，
＝(x 0 ，y 0 )．∵ ⊥ ，∴2(x 0 －1)＋ty 0 ＝0，∴2x 0 ＋ty 0 ＝2.∵
⊥ ，∴x 0 (x 0 －2)＋y 0 (y 0 －t)＝0，∴
＋
＝2x 0 ＋ty 0 ＝2，∴| |＝
＝ 为定值．
1年前
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