（2014?南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其
（2014?南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为| 5 |
（1）求椭圆C的方程．
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=[π/2]．求证：原点O到直线AB的距离为定值．
（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．
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（1）由题意，可设椭圆C的方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a＞b＞0)．
则
a-c=
5-1
b=2
a2=b2+c2，
解得
a=
5
b=2
c=1．
∴椭圆方程为
x2
5+
y2
4=1．
（2）设原点O到直线AB的距离为d，
则由题设及面积公式知d=
|OA|?|OB|
|AB|．
①当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，
有
|OA|=
5
|OB|=2或
|OB|=
5
|OA|=2．
则|AB|=
4+5=3．
∴d=
2
5
3．
②当直线OA的斜率k存在且不为0时，
则联立方程，得
x2
5+
y2
4=1
y=kx．
∴
x2
5+
k2x2
4=1．
解得
xA2=
1
1
5+
k2
4
yA2=
k2
1
5+
k2
4或
xB2=
1
1
5+
1
4k2
yB2=
x2
a2+
y2
b2=1(a＞b＞0)．
则
a-c=
5-1
b=2
a2=b2+c2，
解得
a=
5
b=2
c=1．
∴椭圆方程为
x2
5+
y2
4=1．
（2）设原点O到直线AB的距离为d，
则由题设及面积公式知d=
|OA|?|OB|
|AB|．
①当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，
有
|OA|=
5
|OB|=2或
|OB|=
5
|OA|=2．
则|AB|=
4+5=3．
∴d=
2
5
3．
②当直线OA的斜率k存在且不为0时，
则联立方程，得
x2
5+
y2
4=1
y=kx．
∴
x2
5+
k2x2
4=1．
解得
xA2=
1
1
5+
k2
4
yA2=
k2
1
5+
k2
4或
xB2=
1
1
5+
1
4k2
yB2=
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