（2008•四川）已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1
（2008•四川）已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．
（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．
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解题思路：（Ⅰ）设C1：
+
＝1（a＞b＞0），由题意知C2：y2=4cx．由条件知a=2c．C1的右准线方程为x=4c．C2的准线方程为x=-c．
由条件知c=3，a=6，b＝3
．由此可知C1：
+
＝1，C2：y2=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．由
，得x2-6cx+c2=0，所以x1+x2=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．由此可知|PQ|＝
＝
＝
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由条件知c=3，a=6，b＝3
| 3 |
| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 27 |
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．由
|
| 2(x3−x4)2 |
2[(
|
| 24 |
| 7 |
（Ⅰ）设C1：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C2：y2=4cx．
由条件知(2b)2＝2a(
a2
c−c)，得a=2c．C1的右准线方程为x＝
a2
c，即x=4c．C2的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b＝3
3．
从而C1：
x2
36+
y2
27＝1，C2：y2=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．
由
y2＝4cx
y＝x−c，得x2-6cx+c2=0，所以x1+x2=6c．
而|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，b＝
3．从而，C1：
x2
4+
y2
3＝1，即3x2+4y2=12．
由
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；等比数列的性质；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．
考点点评： 本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
1年前
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