高二数学立体几何问题已知直二面角α-l-β,A∈α,B∈β线段AB=2a,AB与α成45°角,AB与β成30°角,过A、
高二数学立体几何问题
已知直二面角α-l-β,A∈α,B∈β线段AB=2a,AB与α成45°角,AB与β成30°角,过A、B分别作l的垂线AC、BD,C、D分别是垂足,则二面角C-AB-D的余弦值是
已知直二面角α-l-β,A∈α,B∈β线段AB=2a,AB与α成45°角,AB与β成30°角,过A、B分别作l的垂线AC、BD,C、D分别是垂足,则二面角C-AB-D的余弦值是
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过E在平面β内作DE⊥BC于E,再在面ABC内,过E作EF⊥AB于F,连结DF
因α⊥β,α∩β=l,AC在α内,AC⊥l
故AC⊥β
又DE在β内
故AC⊥DE
又DE⊥BC
故DE⊥面ABC
又EF,AB在面ABC内
故DE⊥EF,DE⊥AB
又EF⊥AB
故AB⊥面DEF
故AB⊥DF
即∠DFE即为二面角C-AB-D的平面角
因AC⊥β,故∠ABC即为AB与β所成的角
即∠ABC=30°
同理可得∠BAD=45°
经过简单的计算,可得：
BC=√3a,BD=AD=√2a,
CD=a
故DE=CD*BD/BC=√2a/√3
DF=AD*BD/AB=a
故sinDFE=DE/DF=√2/√3
故cosDFE=√3/3
即二面角C-AB-D的余弦值是√3/3
因α⊥β,α∩β=l,AC在α内,AC⊥l
故AC⊥β
又DE在β内
故AC⊥DE
又DE⊥BC
故DE⊥面ABC
又EF,AB在面ABC内
故DE⊥EF,DE⊥AB
又EF⊥AB
故AB⊥面DEF
故AB⊥DF
即∠DFE即为二面角C-AB-D的平面角
因AC⊥β,故∠ABC即为AB与β所成的角
即∠ABC=30°
同理可得∠BAD=45°
经过简单的计算,可得：
BC=√3a,BD=AD=√2a,
CD=a
故DE=CD*BD/BC=√2a/√3
DF=AD*BD/AB=a
故sinDFE=DE/DF=√2/√3
故cosDFE=√3/3
即二面角C-AB-D的余弦值是√3/3
1年前
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