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(Ⅰ)当n≥2时,an=Sn-Sn-1(1分)=
n
3(n2−1)−
n−1
3[(n−1)2−1]=n2−n,(2分)
又a1=0,所以an=n2-n(n∈N*).(3分)
所以ai+i=i2(i=1,2,3,)是完全平方数,数列{an}具有“P性质”.(4分)
(Ⅱ)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,(5分)
数列{bn}为3,2,1,5,4.(6分)
数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”.(7分)
因为11,4都只有与5的和才能构成完全平方数,
所以数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”.(8分)
(Ⅲ)设n=m2+j,1≤j≤2m+1,
注意到(m+2)2-(m2+j)=4m+4-j,
令h=4m+4-j-1,
由于1≤j≤2m+1,m≥5,所以h=4m+4-j-1≥2m+2≥12,
又m2-h=m2-4m-4+j+1≥m2-4m-2,m2-4m-2=(m-2)2-6>0,
所以h<m2,
即h∈[12,m2].(10分)
因为当n∈[12,m2](m≥5)时,数列{an}具有“变换P性质”,
所以1,2,,4m+4-j-1可以排列成a1,a2,a3,,ah,使得ai+i(i=1,2,,h)都是平方数;(11分)
另外,4m+4-j,4m+4-j+1,,m2+j可以按相反顺序排列,即排列为m2+j,,4m+4-j+1,4m+4-j,
使得(4m+4-j)+(m2+j)=(m+2)2,(4m+4-j+1)+(m2+j-1)=(m+2)2,,(12分)
所以1,2,,4m+4-j-1,4m+4-j,,m2-1+j,m2+j
可以排成a1,a2,a3,,ah,m2+j,,4m+4-j满足ai+i(i=1,2,,m2+j)都是平方数.(13分)
点评:
本题考点: 数列的应用.
考点点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意归纳总结能力的培养.
1年前
你能帮帮他们吗