（2010•如皋市模拟）已知数列an、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2

（1）依题意数列a_n的通项公式是a_n=n，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1（3分）
得b_n=2^n-1，数列b_n是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列b_n的首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，从而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2（6分）
an＝
2−q
b×2n+
q−1
b×n+
q−2
b，
要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列b_n的公比q=2时，数列a_n是等差数列，其通项公式是an＝
n
b；
②当等比数列b_n的公比不是2时，数列a_n不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，（10分）
显然n=1，2时
n

i＝1
1
aibi＜
3
2
当n≥3时
n

i＝1
1
aibi＝
1
1×1+
1
2×2+
1
3×22+
1
4×23++
1
n×2n−1
＜[1/1×1+
1
2×2+
1
2×22+…+
1
2×2n−1]（14分）
=1+
1
2×2•
1−(
1
2)n−1
1−
1
2=[3/2−
1
2n]＜

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题主要考查等差数列、等比数列通项公式及由数列的“和”转化为“项”的综合应用，考查运算能力和推理论证能力．解题中体现了分类讨论的思想在解题中的应用．

1年前

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