f(x1)+f(x1) |
2 |
x1+x2 |
2 |
娜宝贝16 幼苗
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(1)由f(x+2)为偶函数可得f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x=2对称,
则−
b
2a=2,b=−4a,f(x)=ax2-4ax+1;
对于任意的实数x1、x2(x1≠x2),都有
f(x1)+f(x1)
2>f(
x1+x2
2)成立,则
f(x1)+f(x1)
2−f(
x1+x2
2)=
1
2(ax12−4ax1+1+ax22−4ax2+1)−[a(
x1+x2
2)2−4a
x1+x2
2+1]=
1
2a(x1−x2)2>0,
因为x1≠x2,
所以(x1-x2)2>0,
故a>0.
(2)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
因为a>0,
所以a+2>2.
当a+1≤2时,即0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a2+1];
当1<a≤2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a+1];
当a>2时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[a3-4a2+1,a3-4a+1].
(3)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
当0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
f(x)max-f(x)min=a3-4a2+1-(1-4a)=a(a-2)2,
由0<a≤1时,1≤(a-2)2<4,则a(a-2)2<4,而10-a3>9,不合题意;
当1<a<2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=1-3a,
f(x)max-f(x)min=1-3a-(1-4a)=a,
由1<a<2,得10-a3>2,所以a≠10-a3,不合题意;
当2≤a<3时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=1-3a,f(x)max-f(x)min=1-3a-(a3-4a2+1)=10-a3,
故4a2-3a-10=0,(4a+5)(a-2)=0,
因为2≤a<3,
所以a=2.
综上所述:存在常数a=2符合题意.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数的值域;抽象函数及其应用.
考点点评: 本题综合考查函数的奇偶性、单调性、对称性、值域、抽象函数等知识.注意分类讨论的数学思想方法.
1年前
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