（2011•江苏模拟）在数列an中，a1＝1，an+1＝1−14an，bn＝12an−1，其中n∈N*．

解题思路：（1）根据等差数列的性质，b_n+1-b_n为一个常数即可；
（2）设cn＝2bn，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列，然后根据等差数列的性质，进行验证；
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，(1−

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，等式3n+4n+…+(n+2)n＝(bn+3)bn进行化简可化为3ⁿ+4ⁿ++（n+2）ⁿ=（n+3）n，然后进行放缩求解；

（1）∵bn+1−bn＝
1
2an+1−1−
1
2an−1＝
1
2−
1
2an−1−
1
2an−1＝1
∴数列b_n为等差数列4；
（2）假设数列c_n中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第p，r，q（p＜r＜q）项，
由（1）得b_n=n，
∴c_n=2ⁿ，
∴2•2^r=2^p+2^q，
∴2^r+1-p=1+2^q-p
又2^r+1-p为偶数，1+2^q-p为奇数．
故不存在这样的三项，满足条件．
（3）由（2）得等式3n+4n++(n+2)n＝(bn+3)bn
可化为3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ
即(
3
n+3)n+(
4
n+3)n++(
n+2
n+3)n＝1
∴(1−
n
n+3)n+(1−
n−1
n+3)n++(1−
1
n+3)n＝1
∵当n≥6时，(1−
m
n+3)n＜(
1
2)m，
∴(1−
1
n+3)n＜
1
2，(1−
2
n+3)n＜(
1
2)2，(1−
n
n+3)n＜(
1
2)n，
∴(1−
n
n+3)n+(1−
n−1
n+3)n++(1−
1
n+3)n＜
1
2+(
1
2)2+(

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 此题考等差数列的性质，前两问比较简单，第三问难度比较大，放缩时技巧性比较强，不等式与数列的综合题是高考的热点问题，也是压轴题；