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三角形ABC中,D时BC边上任意一点（D与B,C不重合）,且AB^2=AD^2+BD*DC.证明：△ABC为等腰三角形.
作AE⊥BC于E
在直角三角形ABE中
AB²=AE²+BE²
在直角三角形ADE中
AD²=AE²+DE²
∴AB²-AD²=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE)=BD(BE-DE)
∵已知AB²=AD²+BD*DC
∴AB²-AD²=BD*DC
BD(BE-DE)=BD*DC
BE-DE=DC
BE=DC+DE=CD
∴E是BC的中点
由于AE⊥BC
∴AE是BC的垂直平分线
∴AB=AC
三角形ABC是等腰三角形
作AE⊥BC于E
在直角三角形ABE中
AB²=AE²+BE²
在直角三角形ADE中
AD²=AE²+DE²
∴AB²-AD²=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE)=BD(BE-DE)
∵已知AB²=AD²+BD*DC
∴AB²-AD²=BD*DC
BD(BE-DE)=BD*DC
BE-DE=DC
BE=DC+DE=CD
∴E是BC的中点
由于AE⊥BC
∴AE是BC的垂直平分线
∴AB=AC
三角形ABC是等腰三角形
1年前
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