19.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ).

a、b两点都在圆心在原点半径为1的单位圆上
原式=a*a+2a*b=1*1+2*1*1cos（A-B）
因此最大值为角A=角B 即最大值为3
当cos（A-B）=-1时最小,最小值为-1
因此取值范围为[-1,3]
A-B=60度
A=60度+b
因此点a为（cos60+B,sin60+B）
b为（cosB,sinB）
2b为（2cosB,2sinB）
因此a+2b为（2cosB+cos（60+B）,2sinB+sin（60+B））
用平行四边形法
2cosB+cos（60+B）=2cosB+cos60cosB-sin60sinB=2cosB+1/2cosB-根号3/2sinB=（5cosB-根号3sinB）/2
2sinB+sin（60+B)=2sinB+根号3/2cosB+1/2sinB=（5sinB+根号3cosB）/2
因此|a+2b|=根号（（5cosB-根号3sinB）/2）^2+(5sinB+根号3cosB）/2)^2=根号[（25+3）/4]=根号7