关于导数的一道题f（x）连续,且x=0处的导数大于零,那么存在一个数a,使得A.f(x)在(0,a)内单调递增 B.f(

我们可以找一个满足条件的函数f,使得f在任何的(0,a)内不单调.
考虑下面的分段形式定义的函数
f(x) = x^2 * sin(1/x) + x/2,当x不等于0；
0,当x等于0；
容易知道f'(0) = 1/2 > 0,
当x不为零时,f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) + 1/2.
不论a是多小的正数,
在(0,a)内,总有点1/(2n*pi),使得f'(1/(2n*pi)) = - 1/2 < 0,
这说明f在(0,a)内不是单调增的；
在(0,a)内,也总有点1/(2n*pi + pi),使得f'(1/(2n*pi + pi)) = 3/2 > 0,
这说明f在(0,a)内不是单调减的；
也就是说,无论正数a多小,f(x)在(0,a)内都不单调.
这里例子可以吗?

f(x)在(0,a)内单调递增 还包括f(x)>=f(0)这种情况

一楼不对的
首先，f'(0)= lim[f(x)-f(0)]/(x-0) >0 （由导数的定义）
x->o
由于题目规定x∈（0，a）而a大于零，因此(x-0)>0
推出f(x)>f(0),因此B一定对
其次，关于A为什么不对
我们知道，函数在某段连续，不保证导函数在这段区间内连续，只保证它存在
而A要求导函数在...

f'(0)>0只表明在0点函数是增加的，但是在任何一个有限的局部（0，a)都不能肯定它是增函数。
0点附近左边比它函数值小右边比它大，完全不同于（0,a)区间内任意两点左边函数值小于右边的。前者只涉及其他点和0点函数值的比较，后者涉及的却是一个区间内任意两点函数值的比较。...