在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积。

marcia905 1年前已收到1个回答举报

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证明：（1）连接OE，
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°
即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴

，
即

，
∴r² -r-12=0，
解之得r₁ =4，r₂ =-3（舍），
∴S_⊙O =πr² =16π。

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