已知函数f（x）=x2+aex（x∈R）（e是自然对数的底数）

解题思路：（1）将x=8代入，利用导数法，分析函数的单调性，进而根据极值的定义得到答案；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，即-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立，由二次函数的性质可得实数a的取值范围；
（3）令a=1，利用导数法可得f(k)＜f(

1

2

)，即

k2+1

ek

＜

5

4

e−

1

2

，累加可得

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4

e−

1

2

．

（1）当a=-8时，f（x）=
x2+8
ex，
f′(x)＝−
(x+2)(x−4)
ex，
令f′（x）＞0，则x∈（-2，4），故f（x）的增区间是（-2，4），
令f′（x）＜0，则x∈（-∞，-2）∪（4，+∞），故f（x）的减区间是（-∞，-2），（4，+∞），
所以y极大值＝f(4)＝
8
e4，y极小值＝f(−2)＝−4e2…（4分）
（2）f′(x)＝
−x2+2x−a
ex，
若f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，
则f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，
化简可得：-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立．
令g（x）=x²-2x，x∈[-1，2]⇒g（x）∈[-1，3]，
∴-a≤-1或-a≥3
∴a≥1或a≤-3…（8分）
（3）令a=1得：f(x)＝
x2+1
ex，
∵f′(x)＝
−(x−1)2
ex≤0恒成立，
所以f（x）在R上为减函数，
对于任意k∈N^*，都有k＞
1
2，
故有f(k)＜f(
1
2)即
k2+1
ek＜
5
4e−
1
2，
所以
1+12
e+
1+22
e2+
1+32
e3+…+
1+n2
en＜
5n
4e−
1
2…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，运算量大，综合性强，转化过程复杂，属于难题．