已知a＞0，函数f（x）=exa+aex在R上满足f（-x）=f（x），其中e为自然对数的底数　

解题思路：（1）根据奇函数的性质得：f（-1）=f（1），代入解析式化简求出a的值；
（2）由（1）求出f（x），再由单调性的定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论．

（1）∵f（-x）=f（x），∴f（-1）=f（1）
即
e-1
a+
a
e-1=
e
a+
a
e，[1/ea+ae=
e
a+
a
e]
即(
1
e-e)
1
a=a(
1
e-e)，
∴[1/a=a(a＞0)，解得a=1------（4分）
（2）由（1）得，f（x）=e^x+e^-x
设（0，+∞）上任意两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂------（1分）
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+
ex2-ex1
ex1ex2=(ex1-ex2)(1-
1
ex1+x2)
=
(ex1-ex2)(ex1+x2-1)
ex1+x2]------（4分）
∵0＜x₁＜x₂且y=e^x在R为增函数，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex

点评：
本题考点： 指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查了奇函数的性质应用，以及单调性的定义进行证明的步骤，即取值、作差、变形、定号、下结论，关键是变形一定要彻底，化为因式相乘除的形式．