已知函数f(x)＝x2+ax+aex．

（I）由函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，
知：f′（0）=f′（1），
而f′（x）=
−x(x+a−2)
ex，∴
0×(0+a−2)
e0＝
−(1+a−2)
e1，解得a=1，
此时f′（x）=
−x(x−1)
ex，令f′（x）≥0，得0≤x≤1，
故函数f（x）的单调递减区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（II）证明：原不等式等价于ex
x2+ax+a
ex＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．
∵0＜a＜4，∴x²+ax+a＞0，原不等式等价于ex＜a+1+aexlnx，
即[x
ex＜
a+1/e+axlnx，
设g（x）=
a+1
e+axlnx，h（x）=
x
ex]，
对于g（x），列表如下：

可知，g（x）≥g（[1/e]）=[1/e]；
对于h（x），列表如下：

可知，h（x）≤h（1）=[1/e]；
综上所述，g（x）≥h（x）恒成立，又因为这两个函数不在同一点取最值，
于是g（x）＞h（x）恒成立，
从而 原不等式成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．

1年前

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