已知函数f(x)＝exa+aex(a＞0)是定义在R上的偶函数．

（1）若函数f(x)＝
ex
a+
a
ex(a＞0)是定义在R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即
e−x
a+
a
e−x＝
ex
a+
a
ex，
整理得e^-x-e^x=a²e^-x-a²e^x，
则

a2＝1
−a2＝−1，
∴a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
（2）由（1）知a=1，则f（x）=e^x+e^-x在（0，+∞）上的是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝ex1+e−x1−(ex2+e−x2)＝ex1−ex2+e−x1−e−x2=(ex1−ex2)+
ex2−ex1
ex1⋅ex2＝(ex1−ex2)⋅
ex1⋅e

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；其他不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，函数单调性的证明，以及利用函数的单调性和奇偶性解不等式，综合性较强，考查学生的运算能力．