函数y=ln(aex-x+2a2-3)(e为自然对数的底数)的值域是实数集R,则实数a的取值范围是(  )

函数y=ln(aex-x+2a2-3)(e为自然对数的底数)的值域是实数集R,则实数a的取值范围是(  )
A. (-∞,e]
B. (-∞,1]
C. [0,e]
D. [0,1]
littlelittlebird 1年前 已收到1个回答 举报

zhf59 幼苗

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解题思路:设g(x)=aex-x+2a2-3,则要求g(x)min≤0即可.利用导数研究g(x)的单调性,最值情况,进行作答.要注意对a进行分类讨论.

设g(x)=aex-x+2a2-3,则g′(x)=aex-1.
①当a≤0时,g′(x)<0在R上恒成立,g(x)在R上是减函数,
x→+∞时,g(x)→-∞,x→-∞时,g(x)→+∞,
此时g(x)值域为R.符合要求.
②当a>0时,由g′(x)=0得x=-lna.
由g′(x)<0得x<-lna,g(x)在(-∞,-lna)上单调递减.
由g′(x)>0得x>-lna,g(x)在(-lna,+∞)上单调递增.
∴g(x)min=g(-lna)=2a2+lna-2.
下面研究g(x)最小值:
令h(a)=2a2+lna-2,则h′(a)=4a+[1/a]>0(a>0),h(a)在(0,+∞)上单调递增.
可知当a>1时,g(x)min>0,当a=1时,g(x)min=0,当a<1时,g(x)min<0,
而x→+∞时,g(x)→+∞.所以0<a≤1.
综上所述,实数a的取值范围是a≤0或0<a≤1,即a∈(-∞,1].
故选:B.

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题考查与对数有关的复合函数的性质,值域求解.考查分类讨论,运算求解能力.题目难度大,逻辑思维性强.

1年前

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