（2012•兰州模拟）已知函数f（x）=x+ln（1-x），e为自然对数的底数．

解题思路：（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最大值，x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，等价于x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，由此可求实数m的取值范围；
（2）由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此进行放缩，裂项，即可证得结论．

（1）函数的定义域为（-∞，1），求导函数可得：f′(x)＝1−
1
1−x＝
x
x−1
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（x）_max=f（0）=0
∵x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴实数m的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[(1+
1
2!)(1+
1
3!)…(1+
1
n!)]=ln(1+
1
2!)+ln(1+
1
3!)+…+ln(1+
1
n!)＜
1
2!+
1
3!+…+
1
n!
≤[1/1×2+
1
2×3+…+
1
(n−1)n]=[1/1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−1−
1
n]=1-[1/n]＜1
∴(1+
1
2!)(1+
1
3!)…(1+
1
n!)＜e．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，属于中档题．