（2012•湖北模拟）设函数f（x）=ln（x+a）-x2．

解题思路：（1）由f(x)＝lnx−x2，x＞0，令f′(x)＝

1

x

−2x＝

1−2x2

x

＞0，得0＜x＜

2

2

，故f（x）在(0，

2

2

)为增函数，同理可得f（x）在(

2

2

，+∞)为减函数，由此能求出f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）由f（x）在[1，2]上为减函数，知x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，故a＞-1．再由x∈[1，2]，f′(x)＝

1

x+a

−2x≤0恒成立⇒a≥

1

2x

−x，能求出a的取值范围．
（3）设切点为P（x₀，x₀）则f′(x0)＝1⇒

1

x0+a

−2x0＝1⇒x0+a＝

1

1+2x0

，且f(x0)＝x0⇒ln(x0+a)−x02＝x0，由此能求出a的值．

（1）f(x)＝lnx−x2，x＞0，
令f′(x)＝
1
x−2x＝
1−2x2
x＞0，
∴0＜x＜

2
2，
∴f（x）在(0，

2
2)为增函数，
同理可得f（x）在(

2
2，+∞)为减函数，
故0＜m＜

2
2时，f（x）最大值为g(m)＝f(m)＝lnm−m2，
当m≥

2
2时，f（x）最大值为g(m)＝f(

2
2)＝ln

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数最大值的求法，求a的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．