（2012•焦作模拟）已知函数f(x)＝ln(2+3x)−32x2．

解题思路：（I）求出导函数，令导函数为0求出两个根，判断出根两边的导数的符号，求出函数的极值即最值．
（II）分离出参数a，构造两个新函数，通过求导数，判断出函数的单调性，求出函数的最值，求出a的范围．
（III）分离出参数b，构造函数，通过求导数求出函数的极值，求出参数b的范围．

（I）f′(x)＝
3
2+3x−3x＝
−3(x+1)(3x−1)
3x+2，令f'（x）=0，得x＝
1
3或x=-1（舍）
当0≤x＜
1
3时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当[1/3＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(
1
3)＝ln3−
1
6]是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞−ln
3
2+3x对x∈[
1
6，
1
2]恒成立
若ln
3
2+3x＞0即x∈[
1
6，
1
3 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx−ln
3
2+3x或a＜lnx+ln
3
2+3x
设h(x)＝lnx−ln
3
2+3x＝ ln
2x+3x2
3；g(x)＝lnx+ln
3
2+3x＝ ln
3
2+3x
依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[
1
3，
1
2]恒成立
∵g′(x)＝
2
x(2+3x)＞0，h′(x)＝
2+6x
2x+3x2＞0
∴g（x），h（x）都在[
1
3，
1
2]上递增
∴a＞h(
1
2)或a＜g(
1
3)
即a＞ln
7
12或a＜ln
1
3
（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)−
3
2x2+2x−b＝0，
令ϕ(x)＝ln(2+3x)−
3

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 解决不等式恒成立求参数的范围，通常通过构造新函数，通过新函数导数求出函数的最值，进一步求出参数的范围．