已知函数 f ( x )＝ ax 2 －ln x ， x ∈(0，e]，其中e是自然对数的底数， a ∈R.

（1） f ( x )的单调增区间是 ，单调减区间为 ，极小值为 ＋ ln 2.无极大值（2） a ＝

(1)∵ f ( x )＝ x ² －ln x ， f ′( x )＝2 x － ＝ ， x ∈(0，e]，
令 f ′( x )＞0，得 ＜ x ＜e，
f ′( x )＜0，得0＜ x ＜ ，
∴ f ( x )的单调增区间是 ，单调减区间为 .
∴ f ( x )的极小值为 f ＝ －ln ＝ ＋ ln 2.无极大值．
(2)假设存在实数 a ，使 f ( x )＝ ax ² －ln x ， x ∈(0，e]有最小值3，
f ′( x )＝2 ax － ＝ .
①当 a ≤0时， x ∈(0，e]，所以 f ′( x )＜0，所以 f ( x )在(0，e]上单调递减，
∴ f ( x ) _min ＝ f (e)＝ a e ² －1＝3， a ＝ (舍去)．
②当 a ＞0时，令 f ′( x )＝0，得 x ＝ ，
(ⅰ)当0＜ ＜e，即 a ＞ 时，
f ( x )在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ f ( x ) _min ＝ f ＝ －ln ＝3，得 a ＝ .
(ⅱ)当 ≥e，即0＜ a ≤ 时， x ∈(0，e]时， f ′( x )＜0，
所以 f ( x )在(0，e]上单调递减，
∴ f ( x ) _min ＝ f (e)＝ a e ² －1＝3， a ＝ (舍去)，此时 f ( x )无最小值．
综上，存在实数 a ＝ ，使得当 x ∈(0，e]时， f ( x )有最小值3.