已知函数 f （ x ）= ax +ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数.

(1) 当 a =-1时， f （ x ）=- x +ln x ，
f ′( x )′=
当0< x <1时， f ′( x )>0；
当 x >1时， f ′( x )<0.
∴ f （ x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
f（x _）max= f （1）=-1
(2) ∵ f ′( x )′= a + ， x ∈(0,e］，
① 若 a ≥- ，则 f ′′( x )≥0，从而 f ( x )在(0,e］上增函数
∴f（x _）max= f （ e ）= ae +1≥0.不合题意
② 若 ，则由 f ′( x )′>0 ，
即0< x <
由 f ( x )<0 ，即 < x ≤ e .
从而 f ( x )在 上增函数,在 为减函数
∴
令-1+ln ，则ln =-2
∴ ，即a= .
∵
∴a=-e ²
(3) 由（1）知当 a =-1时f（x） _max= f （1）=-1，∴| f （ x ）|≥1
又令 ，
令 g ′( x )=0，得 x = e ,
当0< x < e 时， g ′( x )>0, g ( x )在(0, e )单调递增；
当 x > e 时, g ′( x )<0， g ( x ) 在( e ,+∞)单调递减
∴
∴g(x)<1
∴| f （ x ）|> g ( x ),即| f ( x )|>
∴方程| f （ x ）|= 没有实数解.