已知函数f(x)=ln(x+1)+ax.

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax.
(1)当x=0时,函数f(x)取得极大值,求实数a的值;
(2)若存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求实数a的取值范围;
(3)求函数f(x)的单调区间.
rjhao 1年前 已收到1个回答 举报

郜纬 幼苗

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(1)f′(x)=
1
x+1 +a
由f′(0)=0,得a=-1,此时f′(x)=
1
x+1 -1.
当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;
∴函数f(x)在x=0处取得极大值,故a=-1.
(2)∵f′(x)≥2x,∴
1
x+1 +a≥2x,∴a≥2x-
1
x+1 .
令g(x)=2x-
1
x+1 (1≤x≤2),
∴g′(x)=2+
1
(x+1 ) 2 >0,∴g(x)在[1,2]上是增函数,
∴a≥g(1)=
3
2 .存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立.
(3)f′(x)=
1
x+1 +a.

1
x+1 >0,
∴当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
当a<0时,令f′(x)=0,x=-
1
a -1;
若x∈(-1,-
1
a -1)时,f′(x)>0,
若x∈(-
1
a -1,+∞)时,f′(x)<0;
综上,当a≥0时,函数f(x)递增区间是(-1,+∞);
当a<0时,函数f(x)递增区间是:(-1,-
1
a -1),递减区间是:(-
1
a -1,+∞).

1年前

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