已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于任意的x≥0,都有f(x+2)=-f(x)成立,且当x∈[0,2)时,

答案为-1
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数
所以f（x）=f（-x）
因为对于任意的x≥0,都有f(x+2)=-f(x)成立
所以,f(x)= -f（x+2）=f（x+4）=-f（x+6）=f（x+8）……
由上可知,f（x）=f（x+2k）,k为偶数
f（x）=-f（x+2k）,k为奇数
x∈[0,2)
因为2010=0+2×505,505为奇数
所以f（2010）=-f（0）=-log2(0+1)=0
f(-2011)=f(2011)
2011=1+2×505,505为奇数
所以f（2011）=-f（1）=-log2(1+1)=-1
f(-2011)-f(2010)=-1-0=0
楼主你老师肯定说错了
f(2011)=f(-1)是错的,因为只有若对于任意的x≥0,都有f(x+2)=-f(x)成立
所以只能f(2011)=-f（1）,再求

f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x).f(-2011)-f(2010)=f(1)-f(2),f(2)=-f(0),f(1)-f(2)=f(1)+f(0)自己代值

今天看到好多孩子这题目不会了。。。看到什么偶函数又有递推关系的，而且问题又是2011这种大的数字的，就要想循环。
f(x+2)=-f(x),f(x)=-f(x-2),f(x+2)=f(x-2)，所以四个一循环。f(2010)=f(2006)=...=f(2).
因为是偶函数，所以x<0的时候是和x>0对称的。同样是以4为单位循环。f(-2011)=f(-3)=f(3),f(3)=-...

依题意 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数 x≥0,都有f(x+2)=-f(x)成立 当x∈[0，2)时，f(x)=log2(x+1)可得： f(-x)= f(x) f(0)=log2(0+1)=0 f(2)=f(0+2）=0 依次类推，所有的偶数函数都等于0
f(1）=log2(1+1)=1 同理，所有的奇数函数都等于1.
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