设a∈R，函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]（2a+1）x2+（a2+a）x．

解题思路：（1）求导函数，确定函数g（x）的解析式，利用函数为奇函数，即可求a的值；
（2）确定函数f（x）的单调性，可求函数的极小值，利用函数在x=2处取得极小值，可求a的值；
（3）若a＞-1，对a解析分类讨论，确定函数在x∈[0，1]上的单调性，即可求出函数f（x）的最大值．

（1）由题意，f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），…（1分）
∴g（x）=
f′(x)
x=x+
a2+a
x-（2a+1）x（x≠0），
∵函数g（x）=
f′(x)
x（x≠0）为奇函数，
∴g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴a=-[1/2]；…（4分）
（2）f′（x）=（x-a）[x-（a+1）]…（5分）

x （-∞，a） （a，a+1） （a+1，+∞）
f′（x） + - +∴f（x）在x=a+1处取得极小值，在x=1处取得极大值，…（7分）
由题设a+1=2，∴a=1；…（8分）
（3）由（2）知：
①a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=a2-
1
6；…（10分）
②a=0时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴[f（x）]_max=f（0）=0；…（11分）
③0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上是增函数，f（x）在[a，1]上是减函数，∴[f（x）]_max=f（a）=[1/3a3+
1
2a2；…（13分）
④-1＜a＜0时，f（x）在[0，a+1]上是减函数，f（x）在[a+1，1]上是增函数，
∵f（1）-f（0）=a2-
1
6=(a+

6
6)(a-

6
6)，
∴-1＜a＜-

6
6]时，f（1）＞f（0，∴[f（x）]_max=f（1）=a2-
1
6；
-

6
6

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．