已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a＞0)．

解题思路：（I）先求出函数在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程；
（II）利用导数分别求出函数的极大值和极小值，要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，建立不等式组，从而求出a的取值范围；
（III）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，将x分离出来得x＞

2a2+1

1−a

，对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1−a

的最大值即可．

（Ⅰ）a=1时，f(x)=
1
3x3-
1
2x2-2x+1，f′(x)=x2-x-2，f（0）=1，f'（0）=-2，
所以切线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．…3
（Ⅱ）∵f'（x）=x²-ax-2a²，令x²-ax-2a²=0得x=-a或x=2a．
于是f'（x）＞0得x＜-a或x＞2a，f'（x）＜0得-a＜x＜2a．
所以x=-a时，f（x）取得极大值f(-a)=
7
6a3+1；
x=2a时，f（x）取得极小值f(2a)=-
10
3a3+1．…2
要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，
所以


7
6a3+1＞0
-
10
3a3+1＜0，解之得a＞
3
3
10
=

3300

10．…2
（Ⅲ）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，∴（1-a）x＜2a²+1．
∵a∈（1，+∞），
∴1-a＜0，于是x＞
2a2+1
1-a对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于
2a2+1
1-a的最大值．
∵
2a2+1
1-a=-[2(a-1)+
3
a-1+4]≤-(2
6+4)，
当2(a-1)=
3
a-1，即a=1+

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题和利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．